MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA DIMENSIONAL TENSORIAL RELATIVISTA DE CAMPOS [1.241]

O TEMPO EM GRACELI STÁ RELACIONADO COM SEU SISTEMA DE DIMENSÕES E ENERGIAS. REPRESENTADO POR G* EM SUAS EQUAÇÕES.

${\mathcal {T}}$ $G$ * $=$ / $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Na teoria quântica de campos a ordenação de tempo é útil para tirar produto de operadores. Esta operação é designada por ${\mathcal {T}}$ .[1] Para dois operadores A (x) e B (y), que dependem em locais de espaço-tempo x e y nós definimos:

{\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:={\begin{cases}A(x)B(y)&{\text{if }}x_{0}>y_{0},\\\pm B(y)A(x)&{\text{if }}x_{0}<y_{0}.\end{cases}}

G

* $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Aqui $x_{0}$ and $y_{0}$ designam as coordenadas-tempo dos pontos x e y.[2]

De forma explícita temos

{\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:=\theta (x_{0}-y_{0})A(x)B(y)\pm \theta (y_{0}-x_{0})B(y)A(x),

G

* $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

onde $\theta$ representa a função de passo Heaviside e o $\pm$ depende se os operadores em natureza são Bósonicos ou Férmionicos. Se bosônico, então o sinal de $+$ é sempre escolhido, se fermiônico então, o sinal vai depender do número de interligação necessárias para atingir o operador de ordem temporal adequada.[3]

Uma vez que os operadores dependem de sua localização no espaço-tempo (ou seja, não apenas no tempo), esta operação em ordenação de tempo só é coordenada independente se os operadores do tipo espacial [nota 1] em pontos separados comutam.[4] Note que a ordenação tempo é em geral escrita com o argumento de tempo aumentando da direita para a esquerda. Em geral, para o produto de n operadores de campo A1(t1), …, An(tn) o produto do tempo ordenado dos operadores são definidos da seguinte forma:

{\mathcal {T}}\{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})\cdots A_{n}(t_{n})\}=\sum _{p}\theta (t_{p_{1}}>t_{p_{2}}>\cdots >t_{p_{n}})\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

onde a soma é executada em todo p's e sobre o grupo simétrico[5] [nota 2] n graus de permutações e

\varepsilon (p)\equiv {\begin{cases}1&{\text{para os operadores bosônicos,}}\\{\text{sinal da permutação}}&{\text{para os operadores fermiônicos.}}\end{cases}}

Matriz de dispersão

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A matriz de dispersão [nota 3](ou matriz de espalhamento[6]) de em teoria quântica de campos é um exemplo de um produto de tempo ordenado. A matriz de dispersão transformando o estado em t =−∞ para um estado em t = +∞, pode também ser considerada como uma espécie de "holonomia[7]", análoga à linha de Wilson. Obtemos uma expressão ordenada no tempo devido ao seguinte motivo:

Começamos com esta fórmula simples para o exponencial

\exp h=\lim _{N\to \infty }\left(1+{\frac {h}{N}}\right)^{N}.

G

* $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Agora, considere a evolução discretizada do operador

S=\cdots (1+h_{+3})(1+h_{+2})(1+h_{+1})(1+h_{0})(1+h_{-1})(1+h_{-2})\cdots

onde $1+h_{j}$ é o operador de evolução ao longo de um intervalo $[j\varepsilon ,(j+1)\varepsilon ]$ de tempo infinitesimal. Os termos de ordem superiores podem ser negligenciados no limite $\varepsilon \to 0$ . O operador $h_{j}$ é definido por

h_{j}={\frac {1}{i\hbar }}\int _{j\varepsilon }^{(j+1)\varepsilon }dt\int d^{3}x\,H({\vec {x}},t).

G

* $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Note-se que os operadores de evolução ao longo dos intervalos de tempo "passado" é exibido no lado direito do produto. Nós vemos que a fórmula é análoga à identidade acima satisfeita pelo exponencial, e podemos escrever

S={\mathcal {T}}\exp \left(\sum _{j=-\infty }^{\infty }h_{j}\right)={\mathcal {T}}\exp \left(\int dt\,d^{3}x\,{\frac {H({\vec {x}},t)}{i\hbar }}\right).

G

* $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$

T_{\mu \nu }

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

A única sutileza que tivemos que incluir foi o operador ${\mathcal {T}}$ de ordenação de tempo porque os fatores no produto que definem S acima foram tempo-ordenados, também (e os operadores não comutam, em geral) e o operador ${\mathcal {T}}$ garante que este ordenação será preservada.

MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS.

MECÃNICA GRACELI GERAL - QTDRC.

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$[$ $\psi ^{*}$ $G$ * $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $T_{\mu \nu }$ $/$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ +

$+$ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES DE CAMPOS E ENERGIAS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE INTERAÇÕES DE CAMPOS. EM ;

MECÂNICA GRACELI REPRESENTADA POR TRANSFORMADA.

dd = dd [G] = DERIVADA DE DIMENSÕES DE GRACELI.

- [ $G*$ $\hbar$ $.$ $\psi$

G { f [dd]} ´[d] $\psi ^{*}$ $\hbar$ $\psi$ $f [d] G*$ $T_{\mu \nu }$ $\psi$ $dd [G]$

O ESTADO QUÂNTICO DE GRACELI

- [ $G*$ $\hbar$ $.$ $\psi$ $\left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle {\bigg )},$ ]

$G* = DIMENSÕES DE GRACELI TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO COM INTERAÇÕES DE ENERGIAS, QUÂNTICAS, RELATIVÍSTICAS, , E INTERAÇÕES DE CAMPOS.$

o tensor energia-momento $T_{\mu \nu }$ é aquele de um campo eletromagnético,

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Lagrangiana

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A dinâmica dos quarks e glúons é controlada pela lagrangiana da cromodinâmica quântica. A lagrangiana invariante de gauge da QCD é

${\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }={\bar {\psi }}_{i}\left(i(\gamma ^{\mu }D_{\mu })_{ij}-m\,\delta _{ij}\right)\psi _{j}-{\frac {1}{4}}G_{\mu \nu }^{a}G_{a}^{\mu \nu }$

$G$

onde $\psi _{i}(x)\,$ são os campos dos quarkos, uma função dinâmica do espaço tempo, na representação fundamental dogrupo de gauge SU(3), indexada por $i,\,j,\,\ldots$ ; ${\mathcal {A}}_{\mu }^{a}(x)\,$ são os campos de glúons, também funções dinâmicas do espaço-tempo, na representação adjunta do grupo de gauge SU(3), indexado por a, b,... ; γ^μ são as matrizes de Dirac conectando a representação spinorial a representação vetorial do grupo de Lorentz.

O símbolo $G_{\mu \nu }^{a}\,$ representa o tensor de força do campo de glúon invariante de gauge, análogo ao tensor de força do campo eletromagnético, F^{\mu \nu} \,, em eletrodinâmica quântica. É dado por:^[8]

onde f_abc são as constantes de estrutura de SU(3). Note que as regras para mover os índices a, b, or c de cima para baixo são triviais (assinatura (+, ..., +)) de forma que f^abc = f_abc = f^a_bc ao passo que para os índices μ or ν devem ser seguidas as regras não triviais, correspondendo a assinatura métrica (+ − − −), por exemplo.

As constantes m e g controlam a massa dos quarks e as constantes de acoplamento da teoria, sujeitas a renormalização da teoria quântica completa.

Uma noção teórica importante envolvendo o termo final da lagrangiana acima é a variável do loop de Wilson. Esse loop tem papel importante nas formas discretizadas da QCD (veja QCD na rede), e de forma mais geral, distingue entre estados confinados e livres da teoria de gauge. Foi introduzido pelo físico laureado com Nobel Kenneth G. Wilson.

Matematicamente, a eletrodinâmica quântica tem a estrutura da teoria de calibre do grupo abeliano e possui um grupo de simetria de calibre U(1). O campo de medida da interação entre o campo carregado de spin -1/2 é o campo eletromagnético. Assim, usando o sistema de unidade natural como sendo $c=\hbar =\mu _{0}=1$ , o lagrangiano na EDQ que provome^{[necessário esclarecer]} a mediação na interação entre vários elétrons ou pósitrons por meio de fótons é dada por:^[32]^[33]

{\mathcal {L}}=\psi ^{*}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ Onde:

$\gamma ^{\mu }$ são as matrizes de Dirac;
$\psi$ é o campo espinor duplo das partículas de spin 1/2 (como o campo elétron-pósitron);
${\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ é o adjunto de Dirac;
$D_{\mu }$ é a derivada covariante de calibre;
$�$ é a unidade imaginária;
$�$ é a massa do elétron;
$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$ é o tensor do campo eletromagnético.

Equação da ação

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O lagrangiano EDQ para um campo de spin-1/2 interagindo com o campo eletromagnético em unidades naturais dá origem à ação:^[32]

Ação na EDQ

$S_{\text{QED}}=\int d^{4}x\,\left[-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+{\bar {\psi }}\,(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\,\psi \right]$

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ Onde:

$D_{\mu }\equiv \partial _{\mu }+ieA_{\mu }+ieB_{\mu }$ $D_{\mu }\equiv \partial _{\mu }+ieA_{\mu }+ieB_{\mu }$ é a derivada covariante de calibre;
- $�$ é a constante de acoplamento , igual à carga elétrica do campo bispinor;
- $A_{\mu }$ é o quatro potencial covariante do campo eletromagnético gerado pelo próprio elétron. Também é conhecido como campo de calibre ou $U(1)$ conexão;
- $B_{\mu }$ é o campo externo imposto pela fonte externa.

A expansão da derivada covariante revela uma segunda forma útil do lagrangiano (campo externo $B_{\mu }$ definido como zero para simplificar):

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi -ej^{\mu }A_{\mu }$

Sendo $j^{\mu }$ o conservado $U(1)$ corrente decorrente do teorema de Noether: $j^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .$

Expandindo a derivada covariante no lagrangiano é obtida a seguinte expressão:

${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi$ $=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi -ej^{\mu }A_{\mu }.$

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ E pela simplificação, $B_{\mu }$ foi definido como zero. De maneira alternativa, é possível absorver $B_{\mu }$ em um novo campo de medição $A'_{\mu }=A_{\mu }+B_{\mu }$ e renomear o novo campo como $A_{\mu }$ . Dessa forma, a partir deste lagrangiano, as equações de movimento para o campos $\psi$ e $A_{\mu }$ podem ser obtidas.

Equação de movimento para Ψ

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Essa equação surge de forma mais direta considerando a equação de Euler-Lagrange para ${\bar {\psi }}$ , pois como o lagrangiano não contém $\partial _{\mu }{\bar {\psi }}$ termos, obtemos imediatamente:

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\bar {\psi }}}}=0$

Permitindo, assim, que a equação do movimento para $\psi$ possa ser escrita desta forma:

$(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =e\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi .$

/ $G$ * $\psi ^{}$* [ $\psi ^{}$* $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Equação de movimento para Aμ

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No equacionamento dessa equação é preciso usar a equação de Euler-Lagrange para o campo $A_{\mu }$ :

$\partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=0,$ / $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Com as derivadas sendo:

$\partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)=\partial _{\nu }\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)$

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .$

$G$

E substituindo esses dois termos de volta na equação de Euler-Lagrange trabalhada anteriormente é possível obter:

$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\nu }\psi$

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ Que também pode ser escrito em termos de $j^{\mu }$ da seguinte forma:

$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=ej^{\nu }.$

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Agora, se a condição de calibre de Lorenz é adotada, pode-se obter:

$\partial _{\mu }A^{\mu }=0,$

E as equações se reduzem a:

$\Box A^{\mu }=ej^{\mu }$

$G$

Onde:

$\Box$ representa o Operador de d'Alembert.

Assim, é possível alcançar uma equação de onda para o quatro potencial, sendo a versão da eletrodinâmica quântica das equações clássicas de Maxwell no medidor de Lorenz.

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